【总结】幂函数求导

2024年05月20日

【总结】幂函数求导

　　证明：y=x^a

　　两边取对数lny=alnx

　　两边对x求导(1/y)*y'=a/x

　　所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)

　　y=a^x

　　两边同时取对数：

　　lny=xlna

　　两边同时对x求导数：

　　==>y'/y=lna

　　==>y'=ylna=a^xlna

　　幂函数：一般的，形如y=x(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

　　幂函数是基本初等函数之一。

　　一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

　　特性：

　　对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果，q和p都是整数，则，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

　　当指数α是负整数时，设α=-k，则，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　α小于0时，x不等于0；

　　α的分母为偶数时，x不小于0；

　　α的分母为奇数时，x取R。